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E~1LIYUN~1LOCALS~1Tempmsohtml11clip_image001.jpg">上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在
的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065。
(1)将y表示成x的函数;
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧
上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。
解析:(1)如图,由题意知AC⊥BC,
,
其中当
时,y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
(2)
,
,令
得
,所以
,即
,当
时,
,即
所以函数为单调减函数,当
时,
,即
所以函数为单调增函数,所以当
时,即当C点到城A的距离为
时,函数
有最小值。
【点评】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
2攻略之二——掌握数学建模分析的具体方法
注意总结解高中数学应用题的基本模式,以便在解题过程中能尽快找到解题方法,达到“生中见熟”的效果。如行程、工程、浓度等问题可转化为方程(组)或不等式(组)的求解问题;平均增长率问题可转化为求解数列和指数方程(不等式)问题;用料最省、造价最低、容积(面积)最值问题可转化为函数、线性规划最值问题;应用题与平面图形有关时,如拱桥设计可转化为二次曲线,航海、测量问题转化为三角函数问题等;一般可采用关系分析法、列表分析法、图像分析法等方法、分析题目的层次、领会关键词语,弄清题图关系、重视条件转译,准确建模。
【例2】(2001年高考试题)(旅游业的投入产出问题)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少
,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
。
(1)设 年内(本年度为第一年)总投入为 万元,旅游业总收入为 万元,写出它们的表达式;
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
解析:在研究旅游业的投入产出问题时,根据“本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少 ”和“旅游业收入每年会比上年增加 ”,其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列,注意题目“设 年内(本年度为第一年)总投入 为 万元,旅游业总收入为 万元”中的“ 年内”说明“ ”、“ ”表示等比数列的前 项和。
建立数学模型:(1)第n 年的投入与收入资金数列列表如下
第n年
|
第n年投入资金(万元)
|
第n年旅游收入(万元)
|
1
|
800
|
400
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
…………
|
………
|
……….
|
(2)略
【点评】通过列表分析,数学模型一目了然,不同的问题要灵活选用不同的分析方法。
3攻略之二——注重数形结合逐步翻译条件
应用性问题往往有大段的文字描述,在解答过程中要真读题、审题,通过审题领会其中的数的本质,并且要养成边读题边画图的习惯,树立数形结合意识,把抽象繁琐的文字叙述,逐步翻译为具体直观的图形关系。
【例3】(2009辽宁卷)如图,
都在同一个与水平面垂直的平面内,
为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面
处测得
点和
点的仰角分别为
,
,于水面
处测得
点和
点的仰角均为
,
。试探究图中
间距离与另外哪两点距离相等,然后求
的距离(计算结果精确到
0.01km,
1.414,
2.449)
解析:在
中,
,
=60°-
=30°,
所以
又
=180°-60°-60°=60°,
故
是
底边
的中垂线,所以
,
在
中,
,
即AB=
因此,
故 的距离约为0.33km。
【点评】对于这类问题在解题过程中,要明确相关的术语概念,如方位角仰角俯角等概念,这时顺利解出题目的前提.
4攻略之四——注意语言表达的完整性
数学应用题的求解不同于一般的数学运算题,有人比喻它是数学中的小作文,因此解数学应用题要做到“有头有尾”,把问题中的普通语言转化为数学语言,引入变量与字母,画出图形,将数学建模的过程详细地写出来,建立数学模型后,要准确地求解,并注意计量单位的一致,最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合,而且要给出完整的答案。
四、考点精炼
1.落在平静湖面上的雨滴,使水面产生一圈一圈的同心圆形水波,在此后的一段时间内,若最外一圈水波的半径
(单位:米)与时间
(单位:秒)满足函数关系式
,则在2秒末扰动水面面积的变化率为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.我国股市中对股票的股价实行涨跌停制度,即每天的股价最大涨幅或跌幅均为
,某股票连续四个交易日中的前两天每天涨停,后两天每天跌停,则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是( )
A.下跌1.99% B.上涨1.99% C. 保持不变 D.无法确定
3.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测,图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36,则样本中净重大于或等于
98克并且小于
104克的产品的个数是( )
A.90 B
.75 C. 60 D.45
4.(2009四川卷文)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
5.(2007年湖北文理)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量
(毫克)与时间
(小时)成正比;药物释放完毕后,
与
的函数关系式为
(
为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量
(毫克)与时间
(小时)之间的函数关系式为 .
(II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到
毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
6.(2009年湖北)如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域,为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星,它离地球表面的距离约为
36000km。已知地球半径约为
6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km。(结果中保留反余弦的符号)
7.(2007年湖北)(本小题满分12分)
某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值
(单位:元,
)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(I)将一个星期的商品销售利润表示成
的函数;
(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
8.(2007年山东)(本小题满分12分)
如图,甲船以每小时
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,当甲船航行
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,问乙船每小时航行多少海里?
9.(2009安徽卷理)(本小题满分12分)
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是
.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是
。在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量,写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望)。
参考答案
1. A
2.A
3. A
【解析】:产品净重小于
100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于
100克的个数是36,设样本容量为
,则
,所以
,净重大于或等于
98克并且小于
104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于
98克并且小于
104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.
4. D
【解析】设生产甲产品
吨,生产乙产品
吨,则有关系:高考资源网
|
A原料
|
B原料
|
甲产品 吨
|
3
|
2
|
乙产品 吨
|
|
3
|
则有:
目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知:
当
=3,
=5时可获得最大利润为27万元,故选D
5.
;0.6
6.【答案】12800arccos
【解析】如图所示,过
做圆的两条切线,切点为
,可得AO=36000+6400=42400,则在
Rt△ABO中可得cos∠AOB=
所以
两点间的球面距离
7.解析:(Ⅰ)设商品降价
元,则多卖的商品数为
,若记商品在一个星期的获利为
,
则依题意有
,
又由已知条件,
,于是有
,
所以
.
(Ⅱ)根据(Ⅰ),我们有
.
故
时,
达到极大值.因为
,
,所以定价为
元能使一个星期的商品销售利润最大。
8. 解析:如图,连结
,
,
,
是等边三角形,
,
在
中,由余弦定理得
,
因此乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行
海里.
9. 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。
解:随机变量X的分布列是
X的均值为
附:X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是
:
①
|
②
|
③
|
④
|
⑤
|
⑥
|
A—B—C—D
|
A—B—C
└D
|
A—B—C
└D
|
A—B—D
└C
|
A—C—D
└B
|
|
在情形①和②之下,A直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A直接感染了两个人;在情形⑥之下,A直接感染了三个人。
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